|
|
 |
Условие
Вокруг треугольника ABC с острым углом C описана окружность. На дуге AB, не содержащей точку C, выбрана точка D. Точка D' симметрична точке D относительно прямой AB. Прямые AD' и BD' пересекают стороны BC и AC в точках E и F. Пусть точка C движется по своей дуге AB. Докажите, что центр описанной окружности треугольника CEF движется по прямой.
Решение
Заметим, что четырёхугольник CED'F – вписанный. Действительно, ∠ED'F = ∠AD'B = ∠ADB, следовательно,
∠ECF + ∠ED'F = ∠ECF + ∠ADB = 180° (рис. слева).
Пусть M – середина AB, а прямая PD' повторно пересекает окружность в точке Q. Заметим, что ∠C'PD' = 90°, значит, точка Q диаметрально противоположна точке C', то есть Q симметрична D' относительно M (см. решение задачи 108600). Следовательно, AQBD' – параллелограмм и
AD' || QB. Поскольку PQBC – вписанный четырёхугольник, ∠PD'E + ∠PCE = ∠PQB + ∠PCE = 180°.
Следовательно, все окружности, описанные около треугольников CEF, проходят через две фиксированные точки – D' и P. Центры таких окружностей лежат на серединном перпендикуляре к отрезку PD'.
Замечания
Попутно доказано, что точки P, D' и M лежат на одной прямой. Другие свойства точки P и более общей конструкции можно найти в статьях Ю. Блинкова "Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и... еще одна точка!" и В. Дубровского "Two applications of a lemma on intersecting circles".
