ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66095
Темы:    [ Логарифмические уравнения ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?


Решение

  Предположим, что такие числа x и  y < x  существуют. Тогда они удовлетворяют системе уравнений  lg(x + y) = lg x lg y,  lg(x – y) = lg x/lg y.
  Если  0 < x ≤ 1,  то левая часть второго уравнения отрицательна, а правая часть неотрицательна. Противоречие.
  Если  0 < y < 1  и  x ≥ 1,  то левая часть первого уравнения положительна, а правая часть неположительна. Противоречие.
  Пусть  x > y > 1.  В этом случае все логарифмы положительны. Сложим уравнения системы и применим неравенство Коши:
lg(x² – y²) = lg(x + y) + lg(x – y) = lg x lg y + lg x/lg y ≥ 2lg x = lg x².  Отсюда  x² – y² ≥ x²,  что невозможно.


Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 80
Год 2017
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .