Задача 66090

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Окружности, вписанные в сегмент ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Васильев М.

На вписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны AC в точке S, нашлась такая точка Q, что середины отрезков AQ и QC также лежат на вписанной окружности. Докажите, что QS – биссектриса угла AQC.

Решение 1

Пусть K и L – середины отрезков AQ и QC соответственно (cм. рисунок). KL – средняя линия треугольника AQC, поэтому  KL || AC.  Параллельные прямые KL и AC высекают на вписанной окружности равные дуги KS и SL. Значит, опирающиеся на них углы KQS и SQL равны.

Решение 2

Пусть  AQ = u,  QC = v,  AS = x,  SC = y.  По теореме о касательной и секущей имеем  ^u²/₂ = x²,  ^v²/₂ = y².  Отсюда  x : u = y : v,  то есть точка S делит сторону AC треугольника AQC на части, пропорциональные прилежащим сторонам. В таком же отношении эту сторону делит и основание биссектрисы угла Q этого треугольника.

Замечания

Гомотетия с центром в точке Q и коэффициентом 2 переводит вписанную окружность треугольника ABC в описанную окружность треугольника AQC, поэтому эти окружности касаются в точке Q. Утверждение задачи следует теперь из леммы Архимеда (см. задачу 56568).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	80
Год	2017
класс
Класс	11
задача
Номер	2