Задача 65854

Тема:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Малкин М.И.

Докажите, что любая натуральная степень многочлена  P(x) = x⁴ + x³ – 3x² + x + 2  имеет хотя бы один отрицательный коэффициент.

Решение

Пусть  Q = Pⁿ.  Поскольку  P(0) = P(1) = 2,  то  Q(0) = Q(1) = 2ⁿ.  Но  Q(1) – Q(0)  – это сумма всех коэффициентов многочлена Q, кроме свободного члена. Она равна 0, поэтому какой-то коэффициент отрицателен.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3