Задача 65695

Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Дмитриев О., Женодаров Р.Г.

Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?

Решение

  Рассмотрим степени двойки, на которые делятся выписанные числа; пусть 2^k – наибольшая из них. Если хотя бы два выписанных числа делятся на 2^k, то два соседних таких числа будут различаться на 2^k. Значит, одно из них делится на 2^k+1, что невозможно в силу выбора k. Следовательно, среди выписанных чисел ровно одно делится на 2^k.
  Наименьшее общее кратное (НОК) группы, содержащей это число, будет делиться на 2^k, а НОК оставшейся группы – не будет. Значит, сумма этих НОК не делится на 2^k; с другой стороны, эта сумма больше чем 2^k. Поэтому эта сумма не может быть степенью двойки.

Ответ

Не может.

Замечания

Ср. с задачей 65700.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	4
класс
Класс	9
задача
Номер	9.3