|
|
 |
Условие
Внутри трапеции ABCD с основаниями AD и BC отмечены точки M и N так, что AM = CN и BM = DN, а четырёхугольники AMND и BMNC – вписанные. Докажите, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.
Решение
Пользуясь тем, что четырёхугольники AMND и BMNC – вписанные, а углы BCD и ADC в сумме дают 180°, получаем
∠AMB = 360° – ∠BMN – ∠AMN = 360° – (180° – ∠BCN) – (180° – ∠ADN) = ∠BCN + ∠ADN = (∠BCD – ∠NCD) + (∠ADC – ∠NDC) =
= 180° – ∠NCD – ∠NDC = ∠CND.
Поэтому треугольники AMB и CND равны (по двум сторонам и углу между ними), откуда AB = CD, то есть трапеция ABCD – равнобедренная. Отсюда следует, что прямая l, проходящая через середины её оснований AD и BC, перпендикулярна этим основаниям.
Центр окружности, в которую вписан четырёхугольник AMND, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD, то есть на прямой l. Аналогично центр окружности, в которую вписан четырёхугольник BMNC, лежит на прямой l. Отрезок MN является общей хордой этих двух окружностей, поэтому прямая l, соединяющая их центры, перпендикулярна также и прямой MN. Итак, основания трапеции и прямая MN перпендикулярны одной и той же прямой l и поэтому параллельны.
