ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65648
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
[ Теорема Паскаля ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Нилов Ф.

Дан правильный семиугольник A1A2A3A4A5A6A7. Прямые A2A3 и A5A6 пересекаются в точке X, а прямые A3A5 и A1A6 – в точке Y.
Докажите, что прямые A1A2 и XY параллельны.


Решение

  Докажем, что  ∠A2A1Y + ∠XYA1 = 180°,  откуда и будет следовать утверждение задачи. Рассмотрим описанную окружность данного семиугольника (см. рис.). Поскольку четырёхугольник A1A2A3A6 – вписанный, то  ∠A2A1A6 = ∠XA3A6.  Теперь достаточно доказать, что четырёхугольник XA3A6Y вписанный.

  Заметим, что ∠A3XA6 = ∠A2XA6 = ½ (⌣A2A1A6 – ⌣A3A4A5) = π/7  и  ∠A3YA6 = ∠A3YA1 = ½ (⌣A1A2A3 – ⌣A6A5) = π/7,  то есть четырёхугольник XA3A6Y – вписанный.

Замечания

1. Решение можно записать короче, используя понятие антипараллельности. Действительно, отрезки A1A2 и A3A6 антипараллельны относительно прямых A1Y и A2X. То же самое было доказано про отрезки A3A6 и XY относительно тех же прямых. Из этого следует параллельность A1A2 и XY.

2. Утверждение задачи также следует из теоремы Паскаля, применённой к вырожденному шестиугольнику A1A2A3A5A5A6.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2016-04-17
класс
Класс 10-11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .