ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65645
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки IA, IB, IC – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из IA на AC, пересекает перпендикуляр, опущенный из IB на BC, в точке XC. Аналогично определяются точки XA и XB. Докажите, что прямые IAXA, IBXB и ICXC пересекаются в одной точке.


Решение

  Так как центры вневписанных окружностей равноудалены от прямых, содержащих стороны треугольника, то прямая IAXC симметрична прямой, проходящей через IA и перпендикулярной BC, относительно прямой IAIB. Аналогично рассматривается симметрия прямой IBXC относительно прямой IAIB. Следовательно, точка XC симметрична точке пересечения перпендикуляров к сторонам BC и AC треугольника, проведённых из точек IA и IB соответственно, относительно прямой IAIB. Аналогично можно определить точки XA и XB.

           
  Из задачи 53730 следует, что треугольник ABC является ортотреугольником треугольника IAIBIC . Значит, перпендикуляры, опущенные из вершин IA, IB и IC треугольника IAIBIC на прямые BC, AC и AB соответственно, пересекаются в центре описанной окружности треугольника IAIBIC (см. задачу 52815).
  Сменив обозначения на более привычные, получим, что задача сводится к доказательству следующего факта.
  В треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности, точка XC симметрична O относительно стороны AB. Аналогично определяются точки XA и XB. Тогда прямые AXA, BXB и CXC пересекаются в одной точке.
  Мы докажем, что эти три прямые проходят через середину отрезка OH, где H – ортоцентр треугольника ABC.
  Действительно, из задачи 53528 следует, что CXC является диагональю параллелограмма COXCH, то есть проходит через середину отрезка OH (рис. справа). Для двух других прямых доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2016-04-17
класс
Класс 8-9
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .