ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65381
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Композиции симметрий ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Соколов А.

Пусть H и O – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOH, пересекает серединный перпендикуляр к BC в точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.


Решение

  Рассмотрим треугольник A'B'C', образованный отражениями точки O относительно сторон треугольника ABC. Его вершины – центры описанных окружностей треугольников HBC, HCA и HAB; значит, его стороны – серединные перпендикуляры к AH, BH и CH, и они параллельны сторонам треугольника ABC. Значит, O – ортоцентр треугольника A'B'C' (см. рис.).
  С другой стороны, поскольку стороны AH и A1O вписанного четырёхугольника AHOA1 параллельны, прямые AA1 и OH симметричны относительно серединного перпендикуляра к AH, то есть относительно B'C'; аналогичное утверждение выполняется для BB1 и CC1. Согласно задаче 55657 эти три прямые пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
задача
Класс 10
задача
Номер 10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .