ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65243
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан параллелограмм ABCD, в котором  AB < AC < BC.  Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D; при этом отрезки AD и CE пересекаются. Оказалось, что  ∠ABF = ∠DCE.  Найдите угол ABC.


Решение

  Так как D лежит вне ω, угол ABC острый. Пусть A' – вторая точка пересечения DC и ω. Поскольку  BC > AC,  имеем
DCA = ∠CAB > ∠CBA = ∠DA'A;  значит, A' лежит на продолжении отрезка DC за точку C. Заметим, что
ECA' = 2(180° – ∠ECA') = 2∠ECD = 2∠ABF = ⌣ACF.

  Пусть l – биссектриса угла EDF. Поскольку DE и DF – касательные, прямая l проходит через центр O окружности ω. Совершим симметрию относительно l; при этом ω перейдёт в себя. Так как  ⌣ECA' = ⌣ACF,  точки A и A' при этой симметрии переходят друг в друга. Значит,
DAA' = ∠DA'A.  С другой стороны, поскольку точка A' лежит на ω,  ∠AA'C = ∠ABC = ∠ADA'.  Итак, все три угла треугольника DAA' равны, откуда  ∠ABC = ∠ADA' = 60°.


Ответ

60°.

Замечания

Отметим, что эта задача – переформулировка задачи 65236.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .