Задача 65016

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Прокопенко Д.

В остроугольном треугольнике ABC  AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AA₁ и B₁C₁ пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A₁KC₁ и A₁KB₁, вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что
  а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC.

  б)  

Решение

  а) Треугольники AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C подобны треугольнику ABC с коэффициентами cos A, cos B, cos C соответственно. Поэтому
∠KA₁C₁ = ∠KA₁B₁ = 90° – ∠A,  и по теореме синусов диаметры описанных окружностей треугольников AKB₁ и A₁KC₁ равны соответственно     и     Следовательно, их сумма равна  

  б) Доказанное в предыдущем пункте равенство можно переписать в виде     Разделив его на BC, получим искомое соотношение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	15