Задача 65013

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Блинков А.Д., Блинков Ю.А., Сандрикова М.

В прямоугольном треугольнике ABC  CH – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром H и радиусом CH пересекает больший катет AC в точке M. Точка B' симметрична точке B относительно H. В точке B' восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке K. Докажите, что:
  а)  B'M || BC;
  б)  AK – касательная к окружности.

Решение

  а) Первый способ. Проведём высоту HN к основанию равнобедренного треугольника CHM. Тогда  CN = NM.  Так как  BH = B'H  и  NH || BC,  то прямая, проходящая через точку B' параллельно HN, пересечёт AC в точке M (по теореме Фалеса).

  а) Второй способ.  ∠CMH = ∠MCH = ∠CBB' = ∠CB'B = β,  поэтому точки C, H, B' и M лежат на одной окружности. Следовательно,
∠CB'M = ∠CHM = 180° – 2β. Значит,  ∠AB'M = 180° – ∠CB'M – ∠CB'B = β,  что и требовалось.

  б)  KH² = CH² = AH·BH = AH·B'H.  Следовательно, треугольники AKH и AB'K подобны, то есть угол AKH – прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	12