|
|
 |
Условие
В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω1 треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E1 и F1. Докажите, что прямые EF и E1F1 параллельны.
Решение
Рассмотрим точку R пересечения BC и AD и центр I окружности ω. Прямая IR пересекает отрезок EF в его середине R'. При этом R' – образ точки R при инверсии относительно ω (см. задачу 58326). Опустим перпендикуляр RS' на IS. Так как прямая EF проходит через S, то прямоугольные треугольники IRS' и ISR' подобны. Следовательно, S' – образ точки S при инверсии относительно ω, то есть R лежит на одной прямой с двумя другими точками касания P и Q окружности со сторонами четырёхугольника.
Пусть прямая EE1 пересекает AD в точке M. Рассмотрим три окружности: ω, Ω и описанную окружность Ω3 треугольника AID. Заметим, что радикальная ось Ω3 и ω является средней линией треугольника FPQ. Действительно, рассмотрим середины U, V отрезков FP, AI и центр O окружности Ω3. Степень точки U относительно ω равна UI² – FI² = – UF² и относительно Ω3 такая же:
UO² – AO² = UV² + VO² – AO² = UV² – AV² = UV² – FV² = – UF², то есть U лежит на радикальной оси. То же верно для середины отрезка FQ.
Так как две другие радикальные оси пересекаются в точке M, RM = MF (см. рис.).
Аналогично FF1 пересекает BC в середине N отрезка RE. Следовательно, прямые EE1 и FF1 симметричны относительно биссектрисы угла ERF. Значит, точки E1 и F1 также симметричны и EFF1E1 – равнобокая трапеция.
