Задача 64875

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Макаров И.В.

Окружности ω₁ и ω₂ пересекаются в точках A и B. Точки K₁ и K₂ на ω₁ и ω₂ соответственно таковы, что K₁A касается ω₂, а K₂A касается ω₁. Описанная окружность треугольника K₁BK₂ пересекает вторично прямые AK₁ и AK₂ в точках L₁ и L₂ соответственно. Докажите, что точки L₁ и L₂ равноудалены от прямой AB.

Решение

Так как  ∠K₁AB = ∠AK₂B,  ∠K₂AB = ∠AK₁B,  треугольники AK₁B и K₂AB подобны (см. рис.). Применяя к ним теорему синусов, получаем:     что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
тур
задача
Номер	12