|
|
 |
Условие
В угол вписаны непересекающиеся окружности ω1 и ω2. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых l1 и l2, что l1 касается ω1, l2 касается ω2 (ω1, ω2 находятся между l1 и l2). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми l1, l2 и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.
Решение
Пусть O1, O2 – центры данных окружностей, r1, r2 – их радиусы, O – середина отрезка O1O2, m1 – прямая, параллельная l1 и проходящая через O1, m2 – прямая, симметричная m1 относительно средней линии трапеции (см. рис.). Тогда расстояние от O2 до m2 равно |r2 – r1|. Применив гомотетию с центром O1 и коэффициентом ½, получаем, что расстояние d от O до средней линии равно ½ |r2 – r1|, то есть все средние линии касаются окружности с центром O и радиусом d.
