ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64858
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Прямая Симсона ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc, Ca и Cb лежат на одной окружности.
Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?


Решение

  Очевидно, что центр O описанной окружности Ω треугольника ABC – хорошая точка, поскольку в этом случае  Ba = Ca = A,  Ab = Cb = B  и
Ac = Bc = C.
  Рассмотрим теперь любую хорошую точку D, отличную от O. Пусть A', B', C' – проекции D на BC, CA, AB соответственно. Точки A и Ab симметричны относительно C', так же как и точки B и Ba. Значит, середины отрезков AB и AbBa также симметричны относительно C'; следовательно, серединный перпендикуляр к AbBa проходит через точку O', симметричную O относительно D (рис. слева). Аналогично, серединные перпендикуляры к AcCa и BcCb также проходят через O', при этом они не параллельны; значит, O' и является центром окружности, проходящей через шесть точек. Заметим, что O' также не совпадает с D.

  Каждая из точек D и O' равноудалена от Ab и Ac. Значит, прямая DO' является серединным перпендикуляром к AbAc. Но B'C' – средняя линия в треугольнике AAbAc, следовательно,  DO'B'C'.  Аналогично,  DO'A'B',  то есть точки A', B' и C' лежат на одной прямой. Значит, D лежит на Ω, а A'B'C' – её прямая Симсона (см. задачу 56934). Кроме того, эта прямая перпендикулярна прямой DO', то есть радиусу DO (рис. справа).
  Наоборот, пусть точка D окружности Ω такова, что её прямая Симсона перпендикулярна OD. Обращая рассуждения предыдущих двух абзацев, получаем, что точка O' лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам AbBa, BcCb, AcCa, AbAc, BaBc и CaCb, то есть все шесть точек равноудалены от O'. Значит, точка D – хорошая.
  Найдём теперь количество хороших точек. Пусть точка X движется по Ω с постоянной угловой скоростью. Как известно (см.задачу 56941), прямая Симсона точки X вращается со вдвое меньшей угловой скоростью в противоположном направлении. Значит, угол между радиусом OX и этой прямой меняется с полуторной скоростью, поэтому на описанной окружности существуют три хороших точки. Добавляя центр O, получаем, что хороших точек не больше четырёх.
  Осталось учесть, что некоторые из этих точек могут совпасть с вершинами. Поскольку прямая Симсона вершины A – это высота, опущенная из неё, такое происходит, если радиус OA параллелен BC, то есть если  |∠B – ∠C| = 90°.  Это может произойти и с двумя вершинами – в треугольнике с углами 30°, 30° и 120°.


Ответ

2, 3 или 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2014
класс
Класс 10
задача
Номер 10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .