|
|
 |
Условие
Дан острый угол с вершиной A и точка E внутри него. Построить на сторонах угла точки B, C так, чтобы E была центром окружности Эйлера треугольника ABC.
Решение 1
Пусть M, K и L – середины сторон AB, BC и AC соответственно. Тогда ∠LEM = 2∠LKM = 2∠A. Обозначим стороны угла A через l1 и l2 так, чтобы при повороте вокруг A на угол A против часовой стрелки l1 переходила в l2 (см. рис.). Тогда при повороте по часовой стрелке вокруг E на 2∠A середина стороны треугольника, лежащей на l1, перейдет в середину стороны, лежащей на l2. Поэтому точка M находится как пересечение l2 с повёрнутой на 2∠A прямой l1. А точка, симметричная A относительно M, будет вершиной B треугольника. Вершина C строится аналогично.
Решение 2
Пусть O и H – центр описанной окружности и ортоцентр треугольника. Тогда E – середина отрезка OH, ∠BAO = ∠HAC и AH = 2AO cos∠A. Следовательно, композиция симметрии относительно биссектрисы угла A, гомотетии с центром A и коэффициентом 2 cos∠A и симметрии относительно E является подобием с центром O. Соответственно, найдя центр этого подобия, можно построить точки B и C как вторые точки пересечения сторон данного угла и окружности с центром O, проходящей через A.
Замечания
При ∠A = 60° рассмотренное подобие будет симметрией относительно прямой, проходящей через E и перпендикулярной биссектрисе угла A. Соответственно, в качестве O можно брать любую точку этой прямой. В остальных случаях решение единственно.
