ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64780
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается катетов AC и BC в точках B1 и A1, а гипотенузы – в точке C1. Прямые C1A1 и C1B1 пересекают CA и CB соответственно в точках B0 и A0. Докажите, что  AB0 = BA0.


Решение

Пусть I – центр вписанной окружности. Так как CA1IB1 – квадрат, а прямая C1A1 перпендикулярна биссектрисе угла B, то треугольники AIB1 и A0CB1 равны по катету и острому углу. Значит,  A0C = AB1.  Аналогично,  B0C = BA1. Следовательно,  AB0 = AB1 + B1C + CB0 = A0C + CA1 + A1B = A0B.

Замечания

Из решения следует, что длины отрезков AB0 и BA0 равны полупериметру исходного треугольника, то есть A0 и B0 – точки касания вневписанных окружностей с продолжениями сторон BC и AC соответственно. Доказав это иным способом, можно получить другое решение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2014
класс
Класс 8
задача
Номер 8.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .