ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64738
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C1, A1, B1 соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A2. A0 – центр окружности, описанной около треугольника A1A2B1; аналогично определяется точка C0. Найдите угол A0BC0.


Решение

Поскольку точки A1 и A2 симметричны относительно середины отрезка BC (см. задачу 55404), то  A0B = A0C.  С другой стороны, A0 лежит на серединном перпендикуляре к отрезку A1B1, который совпадает с биссектрисой угла C. Следовательно,  ∠CBA0 = ∠A0CB = ½ ∠C.  Аналогично
ABC0 = ½ ∠A, и, значит,  ∠A0BC0 = ∠B – ½ (∠C + ∠A) = 45°.


Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2010
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .