Задача 64728
|
|
 |
Условие
Существует ли такой квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c с целыми коэффициентами и a, не кратным 2014, что все числа f(1), f(2), ..., f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?
Решение
Пусть f(x) = 1007x² + 1008x = 1007x(x + 1) + x. Поскольку произведение x(x + 1) является чётным числом при всех натуральных x, то 1007x(x + 1) делится на 2014 при всех таких x. Следовательно, f(x) дает такой же остаток при делении на 2014, как и x. Значит, все числа f(1), f(2), ..., f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014.
Ответ
Существует.
