ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64710
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Две пары подобных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольнике ABCD точка M – середина стороны CD. Через точку C провели прямую, перпендикулярную прямой BM, а через точку M – прямую, перпендикулярную диагонали BD. Докажите, что два проведённых перпендикуляра пересекаются на прямой AD.


Решение 1

  Пусть продолжение перпендикуляра, опущенного на прямую BD из точки M, пересекает сторону AD в точке E (см. рис.). Мы хотим доказать, что прямые CE и BM перпендикулярны.

  Обозначим через F точку пересечения прямых ME и BC и посмотрим на треугольник BDF: в нём высоты DC и FE пересекаются в точке M. Значит, и прямая BM является высотой этого треугольника,  BMDF.
  Но четырёхугольник CFDE является параллелограммом (треугольники EMD и FMC равны по катету и острому углу, поэтому отрезки CF и ED равны и параллельны). Следовательно, прямая BM, перпендикулярная DF, перпендикулярна и CE.


Решение 2

  Пусть  BC = a,  CM = MD = b,  перпендикуляр, опущенный из C на BM, пересекает AD в точке E1, а перпендикуляр, опущенный из M на BD, пересекает AD в точке E2 (см. рис.).

  Из равенства углов E1CD и MBC следует подобие треугольников E1CD и MBC, откуда  E1D = 2b²/a.  Аналогично из подобия треугольников E2MD и DBC следует, что  E2D = 2b²/a.  Итак,  E1D = E2D,  то есть точки E1 и E2 совпадают.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2014
Номер 77
класс
Класс 8
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .