|
|
 |
Условие
Учитель выбрал 10 подряд идущих натуральных чисел и сообщил их Пете и Васе. Каждый мальчик должен разбить эти 10 чисел на пары, подсчитать произведение чисел в каждой паре, а затем сложить полученные пять произведений. Докажите, что мальчики могут сделать это так, чтобы разбиения на пары у них не были одинаковыми, но итоговые суммы совпадали.
Решение 1
Пусть Петя из первой четвёрки чисел n, n + 1, n + 2, n + 3 составит сумму n(n + 1) + (n + 2)(n + 3) = 2n² + 6n + 6, а Вася –
n(n + 3) + (n + 1)(n + 2) = 2n² + 6n + 2. Тогда на первой четвёрке чисел Петя наберёт сумму на 4 больше, чем Вася. Со второй четвёркой чисел они поступят наоборот, сравняв общую сумму. Затем добавят к ней произведение оставшихся двух чисел и получат одинаковые результаты.
Решение 2
Пусть из первых шести чисел Петя составит сумму n(n + 5) + (n + 1)(n + 3) + (n + 2)(n + 4), а Вася – n(n + 4) + (n + 1)(n + 5) + (n + 2)(n + 3). Обе эти суммы равны 3n² + 15n + 11. Оставшиеся числа мальчики могут одинаково разбить на пары.
Замечания
5 баллов
