ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64394
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Нилов Ф.

Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Точки C и D, лежащие соответственно на ω1 и ω2 по разные стороны от прямой AB, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки C и D равноудалены от середины отрезка O1O2.


Решение

По условию прямая AB проходит через середину M отрезка CD (см. рис.). Пусть прямая CD вторично пересекает ω1 и ω2 в точках P и Q соответственно. По теореме о секущих  MC·MP = MB·MA = MD·MQ = MC·MQ.  Отсюда  MP = MQ  и  PC = DQ.  Пусть K и N – середины отрезков PC и DQ соответственно. Тогда M – середина KN. Средняя линия прямоугольной трапеции O1KNO2 является серединным перпендикуляром к отрезку CD. Следовательно, точки C и D равноудалены от середины отрезка O1O2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2013
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .