ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64359
Темы:    [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны многочлены P(x) и Q(x) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение  P(x) = Q(x)  не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение P(x + 1) = Q(x – 1) имеет хотя бы один действительный корень.


Решение

  Пусть  P(x) = x10 + p9x9 + ... + p0  и  Q(x) = x10 + q9x9 + ... + q0.  По условию многочлен  P(x) – Q(x) = (p9q9)x9 + ... + (p0q0)  не имеет действительных корней. Значит, степень его чётна, то есть  p9 = q9.
  Заметим теперь, что  P(x + 1) = x10 + (p9 + 10)x9 + ...  и  Q(x – 1) = x10 + (q9 – 10)x9 + ....  Таким образом, многочлен  P(x + 1) – Q(x – 1) = 20x9 + ...  имеет девятую степень и, следовательно, имеет корень.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
1
Класс 11
задача
Номер 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .