ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64337
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Зайцева Ю.

Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC зафиксированы точки C1 и A1 соответственно. Найдите на описанной окружности треугольника ABC такую точку P, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников APC1 и CPA1 минимально.


Решение 1

  Пусть K – вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников APC1 и CPA1 (рис. слева). Докажем, что K лежит на прямой A1C1.
  Пусть точка P лежит на дуге AC. Четырёхугольники AC1KP и KA1CP – вписанные, следовательно,  ∠C1KP = 180° – ∠C1AP  и  ∠A1KP = 180° – ∠A1CP.  С другой стороны, из вписанного четырёхугольника ABCP получаем, что  ∠C1KP + ∠A1CP = 180°.  Таким образом,  ∠C1KP + ∠A1KP = 180°,  то есть точка K лежит на прямой A1C1.
  (Заметим, что доказанное утверждение эквивалентно задаче 56623 а).
  При расположении точки P на дуге AB или BC доказательство аналогично.
  Пусть MA и MC – середины отрезков C1K и A1K, O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников APC1 и CPA1 соответственно. Тогда O1MA – серединный перпендикуляр к C1K, O2MC – серединный перпендикуляр к A1K. Следовательно,  MAMC = ½ A1C1,  а  O1O2MAMC,  и равенство достигается тогда и только тогда, когда  O1O2 || A1C1.
 Линия центров O1O2 перпендикулярна общей хорде KP, поэтому необходимо найти, при каком положении точки P прямые KP и A1C1 перпендикулярны.   В этом случае  ∠C1KP = 90°.  Четырёхугольник AC1KP – вписанный, следовательно,  ∠BAP = 90°.  Значит, расстояние между центрами описанных окружностей треугольников APC1 и CPA1 минимально, когда точка P диаметрально противоположна точке B.

           


Решение 2

  Центры O1 и O2 описанных окружностей треугольников APC1 и CPA1 лежат на серединных перпендикулярах FO1 и QO2 к отрезкам AC1 и A1C (рис. справа). Пусть K – точка пересечения этих перпендикуляров.
  Точки O и O1 лежат на серединном перпендикуляре LO к отрезку AP, а точки O и O2 – на серединном перпендикуляре MO к отрезку CP. Четырёхугольник LOMP – вписанный, следовательно,  ∠LOM = 180° – ∠P = ∠B.  Четырёхугольник FBQK – также вписанный, поэтому
O1KO2 = 180° – ∠B.  Таким образом,  ∠O1KO2 + ∠O1OO2 = 180°,  то есть и четырёхугольник O1OO2K – вписанный. Следовательно,
O1O2 = 2R sin ∠O1KO2 = 2R sin ∠FKQ,  и длина отрезка O1O2 будет минимальной, когда радиус описанной окружности четырёхугольника O1OO2K будет минимальным. Поскольку точки O и K – фиксированы, то минимальный диаметр этой окружности равен OK. В этом случае  ∠OO1K = 90°.  Значит, в четырёхугольнике AFO1L углы F, O1 и L равны 90°, следовательно, и угол A равен 90°. Таким образом, PB – диаметр описанной окружности треугольника ABC.
  При другом взаимном расположении точек O1, O2, O и K (например, если точка O1 лежит между точками K и O2) доказательство аналогично.


Ответ

P диаметрально противоположна точке B.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 11 (2013 год)
Дата 2013-04-14
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .