|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяты соответственно точки C1 и A1 так, что AC = A1C = AC1.
Докажите, что описанные окружности треугольников ABA1 и CBC1 пересекаются на биссектрисе угла B.
Решение
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC (см. рис.). Докажем, что описанная окружность треугольника ABI проходит через точку A1.
Первый способ. ∠AIB = 90° + ½ ∠C (см. задачу 55448), а ∠CA1A = ∠CAA1 = 90° – ½ ∠C = 180° – ∠AIB.
Второй способ. Центр описанной окружности треугольника Ω треугольника AIB совпадает с серединой дуги AB описанной окружности
треугольника ABC ("теорема о трилистнике", см. задачу 53119). Следовательно, окружность Ω пересекает сторону CB в точке, симметричной точке A, то есть в A1.
Аналогично, описанная окружность треугольника СIB проходит через точку C1. Следовательно, описанные окружности треугольников ABA1 и CBC1 пересекаются в точке I.
Замечания
Задача является частным случаем следующего утверждения.
Пусть ABC – треугольник. Отложим соответственно на лучах AB и CB равные отрезки AC1 и СA1. Тогда описанные окружности треугольников ABA1 и CBC1 пересекаются на биссектрисе угла ABC.
Доказательство. Пусть O, OA, OC – центры описанных окружностей треугольников ABC, ABA1, CBC1 соответственно.
Общая хорда последних двух окружностей проходит через точку B, поэтому достаточно доказать, что прямая OAOC перпендикулярна биссектрисе угла ABC.
Заметим, что OOA и OOC – серединные перпендикуляры к AB и CB. Значит, биссектрисы углов OAOOC и ABC параллельны, поэтому достаточно доказать, что OOA = OOC. Заметим, что проекция OOA на BC равна
½ CA1, а проекция OOC на AB – ½ AC1, то есть эти проекции равны. Равны также и углы между OOA и CA1 и между AC1 и OCO. Значит, равны и исходные отрезки OOA и OOC.
Разумеется, утверждение остаётся верным и при откладывании AC1 и СA1 в направлениях, противоположных направлениям лучей AB и CB.
