ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61472
Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Укажите явный вид коэффициентов в многочленах Fn(x) и Ln(x). Решите задачи 60581 и 60582, используя многочлены Фибоначчи.
Про многочлены Фибоначчи и Люка смотри статьи в справочнике.


Решение

  а) Нетрудно понять, что Fn – приведённый многочлен степени  n – 1,  причём при (не)чётном n коэффициенты при (не)чётных степенях x этого многочлена равны нулю. Пусть     Тогда из равенства  Fn+1(x) = xFn + Fn–1(x)  получаем     (мы считаем     при
k < 0  и  k > n/2).  Это соотношение позволяет найти все     зная     Но такому же рекуррентному соотношению удовлетворяют и биномиальные коэффициенты     причём     Значит,    

  Заметим, что  Ln(x) = 2Fn+1(x) – xFn(x).  Действительно многочлены справа удовлетворяют как начальным условиям, так и рекуррентному соотношению для многочленов Люка. Поэтому

  б) Числа Fn(1) удовлетворяют определению последовательности Фибоначчи. Поэтому  

  В задаче 60582 фактически требуется найти числа  Sn = (–1)nFn+1(–1).  Эта последовательность удовлетворяет начальным условиям  S0 = S1 = 1  и рекуррентному соотношению  Sn+1 = SnSn–1.  Нетрудно проверить, что она периодическая с периодом 6.


Ответ

а)  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 2
Название Рекуррентные последовательности
Тема Рекуррентные соотношения
задача
Номер 11.045

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .