ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60549
Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Ряды (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Может ли быть так, что   а)  σ(n) > 3n;   б)  σ(n) > 100n?


Решение

  а) По формуле из задачи 60537  σ(320) = σ(2³·3²·5) = 15·13·6 = 3·390 > 3·320.

  б) Пусть p1, p2, p3, ... – возрастающая последовательность всех простых чисел.
  Согласно задаче 34918 найдётся такое m, что  1 + ½ + … + 1/m > 100.
  Пусть k и α таковы, что каждое число от 2 до m раскладывается в произведение простых чисел, не превосходящих pk, в степенях, не превосходящих α. Возьмём  n = (p1...pk)α.  Тогда   > 100  (при раскрытии скобок получатся все числа 1, ½, ..., 1/m  и некоторые другие.


Ответ

Может.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 3
Название Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема Алгебра и арифметика
параграф
Номер 3
Название Мультипликативные функции
Тема Неопределено
задача
Номер 03.097

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .