ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60366
Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Десятичные дроби (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что из 11 различных бесконечных десятичных дробей можно выбрать две такие, которые совпадают в бесконечном числе разрядов.


Подсказка

Для каждого разряда найдутся две дроби, совпадающие в этом разряде.


Решение

Выпишем 11 дробей друг под другом, чтобы цифры из одного разряда оказались в одном столбце. В каждом столбце 11 цифр, поэтому среди этих 11 цифр найдутся две равные. Пусть эти равные цифры находятся в k-й и m-й дробях. Поставим в соответствие этому столбцу пару чисел  (k, m).  Таким образом, каждому столбцу соответствует пара чисел от 1 до 11. Поскольку число пар таких чисел конечно, а число столбцов бесконечно, хотя бы одна из пар  (k0, m0)  была поставлена в соответствие бесконечному числу столбцов. Это означает, что дроби с номерами k0, m0 совпадают в бесконечном числе разрядов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 2
Название Комбинаторика
Тема Комбинаторика
параграф
Номер 2
Название Принцип Дирихле
Тема Принцип Дирихле (прочее)
задача
Номер 02.032

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .