Задача 58329

Темы:    [ Построение окружностей ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 6 Классы: 9,10 Название задачи: Задача Аполлония.

Условие

Постройте окружность, касающуюся трех данных окружностей (задача Аполлония).

Решение

Сведем эту задачу к задаче 28.10. Пусть окружность S радиуса r касается окружностей S₁, S₂, S₃ радиусов r₁, r₂, r₃ соответственно. Касание окружности S с каждой из S_i (i = 1, 2, 3) может быть как внешним, так и внутренним, поэтому всего возможно восемь различных случаев касания. Пусть, например, S касается S₁ и S₃ внешним, а S₂ — внутренним образом (рис.). Заменим окружности S, S₂, S₃ на концентрические им окружности S', S₂', S₃' так, чтобы S' касалась S₂' и S₃' и проходила через центр O₁ окружности S₁. Для этого достаточно, чтобы радиусы S', S₂', S₃' равнялись r + r₁, r₂ + r₁, | r₃ - r₁|. Обратно, по окружности S', проходящей через O₁ и касающейся S₂' и S₃' (внешне, если r₃ - r₁ 0, и внутренне, если r₃ - r₁ < 0), мы можем построить окружность S, дающую решение задачи, уменьшив радиус S' на r₁. Построение такой окружности S' описано в решении задачи 28.10 (если виды касания заданы, то окружность строится однозначно). Таким же способом можно выполнить построение и в остальных возможных вариантах касания.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	2
Название	Построение окружностей
Тема	Построение окружностей
задача
Номер	28.011