Задача 58160

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Произвольные многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
  а) (2n+1)-угольника;  б) 2n-угольника?

Решение

  а) Первый способ. Будем двигаться вдоль прямой в одном направлении. При каждом пересечении границы многоугольника мы переходит снаружи многоугольника внутрь или изнутри наружу. Поскольку оба "конца" прямой находятся снаружи многоугольника, мы пересечём границу чётное число раз. Значит, мы не можем пересечь все стороны (их нечётное число, а дважды одну сторону пересечь нельзя).
  Второй способ. См. задачу 30285.

  б) Из рисунка видно, как при любом n построить 2n-угольник и прямую, пересекающую все его стороны.

Ответ

а) Не может;  б) может.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	1
Название	Четность
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	03
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Чет и нечет
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	23.001
Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	8
год
Год	1998/99
Место проведения	57 школа
занятие
Номер	10
Название	Четность
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	03