Условие
На плоскости дано
n точек и отмечены середины
всех отрезков с концами в этих точках. Докажите, что
различных отмеченных точек не менее 2
n - 3.
Решение
Пусть
A и
B — наиболее удаленные друг от друга данные
точки. Середины отрезков, соединяющих точку
A (соответственно
точку
B) с остальными точками, все различны и лежат внутри
окружности радиуса
AB/2 с центром
A (соответственно
B).
Полученные два круга имеют лишь одну общую точку, поэтому
различных отмеченных точек не менее
2(
n - 1) - 1 = 2
n - 3.
Источники и прецеденты использования
