Условие
На плоскости дано конечное число точек, причем
любая прямая, проходящая через две из данных точек,
содержит еще одну данную точку. Докажите, что все данные
точки лежат на одной прямой (Сильвестр).
Решение
Предположим, что не все данные точки лежат на одной
прямой. Проведем через каждую пару данных точек прямую (этих
прямых конечное число) и выберем наименьшее ненулевое расстояние
от данных точек до этих прямых. Пусть наименьшим будет
расстояние от точки
A до прямой
BC, где точки
B и
C данные.
На прямой
BC лежит еще одна из данных точек — некоторая точка
D.
Опустим из точки
A перпендикуляр
AQ на прямую
BC. Две
из точек
B,
C и
D лежат по одну сторону от точки
Q,
например
C и
D. Пусть для определенности
CQ <
DQ (рис.).
Тогда расстояние от точки
C до прямой
AD меньше, чем расстояние
от точки
A до прямой
BC, что противоречит выбору точки
A и прямой
BC.
Источники и прецеденты использования
