Условие
Докажите, что по крайней мере одно из оснований
перпендикуляров, опущенных из внутренней точки выпуклого
многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне,
а не на ее продолжении.
Решение
Пусть
O — данная точка. Проведем прямые, содержащие
стороны многоугольника, и выберем среди них ту, которая наименее
удалена от точки
O. Пусть на этой прямой лежит сторона
AB.
Докажем, что основание перпендикуляра, опущенного из точки
O на
сторону
AB, лежит на самой стороне. Предположим, что основанием
перпендикуляра, опущенного из точки
O на прямую
AB, является
точка
P, лежащая вне отрезка
AB. Так как точка
O лежит внутри
выпуклого многоугольника, отрезок
OP пересекает некоторую сторону
CD в точке
Q. Ясно, что
OQ <
OP, а расстояние от точки
O до
прямой
CD меньше
OQ. Поэтому прямая
CD менее удалена от
точки
O, чем прямая
AB, что противоречит выбору прямой
AB.
Источники и прецеденты использования
