ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57697
Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 9
Название задачи: Теорема Гаусса.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан четырехугольник ABCD. Пусть u = AD2, v = BD2, w = CD2, U = BD2 + CD2 - BC2, V = AD2 + CD2 - AC2, W = AD2 + BD2 - AB2. Докажите, что uU2 + vV2 + wW2 = UVW + 4uvw.

Решение

Пусть a = $ \overrightarrow{AD}$, b = $ \overrightarrow{BD}$ и  c = $ \overrightarrow{CD}$. Так как BC2 = |b - c|2 = BD2 + CD2 - 2(b,c), то U = 2(b,c). Аналогично, V = 2(a,c) и  W = 2(a,b). Пусть $ \alpha$ = $ \angle$(a,b) и  $ \beta$ = $ \angle$(b,c). Домножив обе части равенства cos2$ \alpha$ + cos2$ \beta$ + cos2($ \alpha$ + $ \beta$) = 2 cos$ \alpha$ cos$ \beta$ cos($ \alpha$ + $ \beta$) + 1 (см. задачу 12.39, б)) на 4uvw = 4| a|2| b|2| c|2, получим требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 2
Название Скалярное произведение. Соотношения
Тема Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер 13.015

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .