Задача 57159

Темы:    [ Метод ГМТ ] [ Задачи на движение ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Точки P и Q движутся с одинаковой постоянной скоростью v по двум прямым, пересекающимся в точке O.
Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка A, расстояния от которой до точек P и Q в любой момент времени равны.

Решение

Точка P проходит через точку O в момент t₁, точка Q – в момент t₂. В момент  t₀ = ½ (t₁ + t₂)  точки P и Q находятся от точки O на одинаковом расстоянии, равном   ½ |t₁ – t₂|v,  причём точка P движется от O, а точка Q – к O. Проведём в этот момент перпендикуляры к прямым в точках P и Q. Точка A пересечения этих перпендикуляров является искомой. Действительно, можно первую прямую повернуть вокруг A так, что она совпадет со второй прямой. При этом совместятся как положения точек P и Q в момент t₀, так и направления скоростей. Поэтому "повёрнутое" положение точки P будет совпадать с точкой Q в любой момент времени.

Замечания

Ср. с задачей 58021.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	6
Название	Метод ГМТ
Тема	Метод ГМТ
задача
Номер	07.030
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М79