Задача 57144

Тема:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и S_a — окружность с диаметром DE, окружности S_b и S_c определяются аналогично. Докажите, что:
а) окружности S_a, S_b и S_c имеют две общие точки M и N, причем прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC;
б) проекции точки M (и точки N) на стороны треугольника ABC образуют правильный треугольник.

Решение

а) Рассматриваемые окружности являются окружностями Аполлония для пар вершин треугольника ABC, поэтому если X — общая точка окружностей S_a и S_b, то  XB : XC = AB : AC и  XC : XA = BC : BA, т. е.  XB : XA = CB : CA, а значит, точка X принадлежит окружности S_c. Ясно также, что если AB > BC, то точка D лежит внутри окружности S_b, а точка A — вне ее. Следовательно, окружности S_a и S_b пересекаются в двух различных точках.
Для завершения доказательства остается воспользоваться результатом задачи 7.49.
б) Согласно задаче а)  MA = /a, MB = /b и  MC = /c. Пусть B₁ и C₁ — проекции точки M на прямые AC и AB. Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром MA, поэтому  B₁C₁ = MA sin B₁AC₁ = (/a)(a/2R) = /2R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Аналогично  A₁C₁ = A₁B₁ = /(2R).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	2
Название	ГМТ - окружность или дуга окружности
Тема	ГМТ - окружность или дуга окружности
задача
Номер	07.016