Информация о задаче

Задача 56977

Темы:	[	Точки Брокара	]
Темы:	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 7+
Классы: 9,10,11
Название задачи: Оружности Схоуте.

Прислать комментарий

Условие

Опустим из точки M перпендикуляры MA₁, MB₁ и MC₁ на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A₁B₁C₁ имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне ее (окружности Схоуте).

Решение

Пусть a₁, b₁, c₁ — длины сторон треугольника A₁B₁C₁, S₁ — его площадь. В теореме речь идет о множестве точек M, для которых выполняется равенство

4S₁ctg $\displaystyle \varphi$ = a²₁ + b₁² + c₁².

Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром AM, поэтому

a₁ = B₁C₁ = AM sin B₁AC₁ = $\displaystyle {\frac{aAM}{2R}}$ ,

где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Таким образом,

a²₁ + b₁² + c₁² = $\displaystyle {\frac{a^2AM^2+b^2BM^2+c^2CM^2}{4R^2}}$ .

Поэтому если (x, y) — координаты точки M в некоторой прямоугольной системе координат, то

a²₁ + b₁² + c₁² = $\displaystyle {\frac{a^2+b^2+c^2}{4R^2}}$ (x² + y²) + px + qy + r,

где p, q, r — постоянные числа.
Для S₁ тоже можно получить выражение через координаты (x, y) точки M. При этом начало системы координат удобно расположить в центре O описанной окружности треугольника ABC. В таком случае

S₁ = $\displaystyle {\frac{S_{ABC}}{4R^2}}$ $\displaystyle \left\vert\vphantom{R^2-x^2-y^2}\right.$ R² - x² - y² $\displaystyle \left.\vphantom{R^2-x^2-y^2}\right\vert$

(задача 5.102).
Уравнение S₁ = 0 определяет описанную окружность треугольника ABC. Это множество соответствует нулевому углу Брокара. Углу Брокара $\varphi$ соответствует множество

±ctg $\displaystyle \varphi$ $\displaystyle {\frac{S_{ABC}}{4R^2}}$ (R² - x² - y²) = $\displaystyle {\frac{a^2+b^2+c^2}{4R^2}}$ (x² + y²) + px + qy + r.

При этом знак плюс берется для точек внутри описанной окружности, а знак минус берется для точек вне описанной окружности. Легко видеть, что каждое из полученных уравнений является уравнением окружности. Дело в том, что если f = 0 и g = 0 — уравнения окружностей, то $\lambda$ f = g — тоже уравнение окружности. Более того, центр окружности $\lambda$ f = g лежит на прямой, соединяющей центры окружностей f = 0 и g = 0. В нашем случае центром одной окружности служит центр описанной окружности треугольника ABC, а центром второй окружности служит точка, для которой величина a²AM² + b²BM² + c²CM² минимальна (точка Лемуана).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	12
Название	Точки Брокара
Тема	Точки Брокара
задача
Номер	05.122.3