Задача 56965

Тема:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что прямая Эйлера треугольника A₁B₁C₁ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Пусть O и I — центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC, H — ортоцентр треугольника A₁B₁C₁. Проведем в треугольнике A₁B₁C₁ высоты  A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂. Треугольник A₁B₁C₁ остроугольный (например,  B₁A₁C₁ = (B + C)/2 < 90^o), поэтому H — центр вписанной (см. задачу 1.56, а)). Стороны треугольников ABC и A₂B₂C₂ параллельны (см. задачу 1.54, а)), поэтому существует гомотетия, переводящая треугольник ABC в A₂B₂C₂. При этой гомотетии точка O переходит в точку I, а точка I — в точку H, поэтому прямая IH проходит через точку O.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	11
Название	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Тема	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
задача
Номер	05.113