ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56962
Тема:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC параллельна стороне BC тогда и только тогда, когда  tgBtgC = 3.

Решение

Пусть AA1 — высота, H — точка пересечения высот. Согласно задаче 5.45, б)  AH = 2R| cos A|. Медианы делятся точкой их пересечения в отношении 1 : 2, поэтому прямая Эйлера параллельна BC тогда и только тогда, когда  AH : AA1 = 2 : 3 и векторы  $ \overrightarrow{AH}$ и  $ \overrightarrow{AA_1}$ сонаправлены, т. е.  2R cos A : 2R sin B sin C = 2 : 3. Учитывая, что  cos A = - cos(B + C) = sin B sin C - cos B cos C, получаем  sin B sin C = 3 cos B cos C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 11
Название Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Тема Прямая Эйлера и окружность девяти точек
задача
Номер 05.110

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .