ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56959
Тема:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что треугольники ABC, HBC, AHC и ABH имеют общую окружность девяти точек.
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников  ABC, HBC, AHC и ABH пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников  ABC, HBC, AHC и ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику HABC.

Решение

а) Докажем, например, что треугольники ABC и HBC имеют общую окружность девяти точек. В самом деле, окружности девяти точек обоих треугольников проходят через середину стороны BC и середины отрезков BH и CH.
б) Прямая Эйлера проходит через центр окружности девяти точек, а окружность девяти точек у этих треугольников общая.
в) Центром симметрии является центр окружности девяти точек этих треугольников.



Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 11
Название Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Тема Прямая Эйлера и окружность девяти точек
задача
Номер 05.107

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .