ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56955
Темы:    [ Подерный (педальный) треугольник ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B1C1, C1A1, A1B1 пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1, C1 на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке (Штейнер).

Решение

Пусть перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B1C1, C1A1, A1B1 пересекаются в точке P. Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные сторонам треугольника A1B1C1. В результате получим треугольник A'B'C'. Пусть P' — точка, изогонально сопряжённая точке P относительно треугольника A'B'C'. Согласно задаче 5.104 в) прямые, соединяющие вершины треугольника A'B'C' с точкой P', перпендикулярны сторонам треугольника ABC. Треугольник A1B1C1 гомотетичен треугольнику A'B'C'; пусть P1 — образ точки P' при соответствующей гомотетии. Тогда прямые, соединяющие вершины треугольника A1B1C1 с точкой P1, перпендикулярны сторонам треугольника ABC, т.е. P1 — искомая точка.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 10
Название Подерный треугольник
Тема Подерный (педальный) треугольник
задача
Номер 05.115B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .