Условие
Докажите, что если никакие стороны четырехугольника
не параллельны, то середина отрезка, соединяющего
точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей
середины диагоналей (
прямая Гаусса).
Решение
Пусть
E и
F — точки пересечения продолжений
сторон данного четырехугольника. Обозначим вершины
четырехугольника так, что
E — точка пересечения продолжений
сторон
AB и
CD за точки
B и
C,
F — точка пересечения
лучей
BC и
AD. Достроим треугольники
AEF и
ABD до
параллелограммов
AERF и
ABLD.
При гомотетии с центром
A и коэффициентом 2 середина
диагонали
BD, середина диагонали
AC и середина отрезка
EF
переходят в точки
L,
C и
R соответственно. Поэтому достаточно
доказать, что точки
L,
C и
R лежат на одной прямой. Именно
этот факт был доказан в задаче
4.54.
Источники и прецеденты использования