ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56806
Тема:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (прямая Гаусса).

Решение

Пусть E и F — точки пересечения продолжений сторон данного четырехугольника. Обозначим вершины четырехугольника так, что E — точка пересечения продолжений сторон AB и CD за точки B и CF — точка пересечения лучей BC и AD. Достроим треугольники AEF и ABD до параллелограммов AERF и ABLD.
При гомотетии с центром A и коэффициентом 2 середина диагонали BD, середина диагонали AC и середина отрезка EF переходят в точки L, C и R соответственно. Поэтому достаточно доказать, что точки L, C и R лежат на одной прямой. Именно этот факт был доказан в задаче 4.54.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 4
Название Площадь
Тема Площадь
параграф
Номер 8
Название Вспомогательная площадь
Тема Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу
задача
Номер 04.055

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .