Задача 55768

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Меркурьев А.С.

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — диаметр окружности. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.

Подсказка

Рассмотрите гомотетию с центром B, переводящую вписанную окружность треугольника ABC в его вневписанную окружность, касающуюся стороны AC, и докажите, что K — точка касания.

Решение

Рассмотрим гомотетию с центром в точке B, переводящую вписанную окружность треугольника ABC в его вневписанную окружность, касающуюся стороны AC. Диаметр этой окружности, соответствующий диаметру DM первой окружности, перпендикулярен AC. Следовательно, вневписанная окружность касается стороны AC в точке K.

Если p — полупериметр треугольника ABC, а F — точка касания вневписанной окружности с лучом BA, то

CD = p - AB, AK = AF = BF - AB = p - AB.

Следовательно, AK = DC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6411