Задача 55754

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Композиции поворотов ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Насыров З.

Круг поделили хордой AB на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки A. При этом повороте точка B перешла в точку D (см. рис.).

Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.

Решение

  Пусть C и E – середины соответственно оставшейся на месте дуги AB и дуги AD, M – середина отрезка BD.

  Первый способ. Пусть K и H – середины отрезков AD и AB (см. рис.), F – диаметрально противоположна точке C (середина "старой" дуги AB). HM и KM – средние линии равнобедренного треугольника ABD, поэтому AKMH – ромб. Следовательно,  EH ⊥ AD || KM,  CK ⊥ AB || HM  и  ∠EHM = ∠MKC  как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Кроме того,  CH : HM = CH : AH = AH : HF = MK : KE,  значит, треугольники CHM и MKE подобны. А так как у них две пары сторон взаимно перпендикулярны, то и третья тоже:  EM ⊥ MC.

  Второй способ. Рассмотрим композицию поворота вокруг точки C, переводящего точку B в A, и поворота вокруг точки E, переводящего A в D (оба поворота против часовой стрелки). Поскольку  ∠BCA + ∠AED = 180°,  эта композиция есть центральная симметрия. Центр симметрии – середина отрезка между точкой B и её образом D при рассматриваемой композиции, то есть точка M. Образ C₁ точки C при этой композиции лежит на продолжении отрезка CM за точку M  (C₁M = MC).  С другой стороны, при первом повороте точка C остается на месте, а при втором – переходит в точку C₁. Поэтому  EC₁ = EC.  Значит, ME – медиана, а следовательно, высота равнобедренного треугольника CEC₁, то есть  EM ⊥ MC.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6038
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1992
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М1327
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	12
Дата	1990/1991
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4