Информация о задаче

Задача 55658

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC, O — центр его описанной окружности, O₁, O₂ и O₃ — точки, симметричные точке O относительно прямых AB, BC и AC. Докажите, что середины сторон треугольника O₁O₂O₃ лежат на окружности девяти точек треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что четырёхугольник с вершинами в серединах сторон треугольника и в середине одной из сторон треугольника O₁OO₃ — вписанный.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон соответственно BC, AC и AB, A₂ — середина отрезка O₁O₃. Поскольку A₂C₁ и A₂B₁ — средние линии треугольника O₁OO₃, то A₂C₁OB₁ -- параллелограмм. Поэтому

$\displaystyle \angle$ C₁A₂B₁ = $\displaystyle \angle$ C₁OB₁ = 180^o - $\displaystyle \angle$ A = 180^o - $\displaystyle \angle$ C₁A₁B₁.

Тогда

$\displaystyle \angle$ C₁A₂B₁ + $\displaystyle \angle$ C₁A₁B₁ = 180^o.

Следовательно, точка A₂ лежит на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁, т.е. на окружности девяти точек треугольника ABC. Аналогично для точек B₂ и C₂.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5113