Информация о задаче

Задача 55601

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9
Название задачи: Задача о четырех пятаках..

Прислать комментарий

Условие

Авторы: Капович И., Капович В.

Четыре окружности радиуса R пересекаются по три в точках M и N, и по две в точках A, B, C и D. Докажите что ABCD — параллелограмм.

Подсказка

Используя свойства ромба, докажите, что $\overrightarrow{CD}$ = $\overrightarrow{BA}$ .

Решение

Пусть O₁, O₂, O₃, O₄ — центры описанных окружностей треугольников AMN, AMB, BMN, CND соответственно. Поскольку четырёхугольники O₄NO₃C, NO₁MO₃, O₁AO₂M — ромбы, то

$\displaystyle \overrightarrow{O_{4}C}$ = $\displaystyle \overrightarrow{NO_{3}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{O_{1}M}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AO_{2}}$ .

Поскольку O₄DO₁N, NO₁MO₃, O₃MO₂B — ромбы, то

$\displaystyle \overrightarrow{O_{4}D}$ = $\displaystyle \overrightarrow{NO_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{O_{3}M}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BO_{2}}$ .

Таким образом,

$\displaystyle \overrightarrow{O_{4}C}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AO_{2}}$ , $\displaystyle \overrightarrow{O_{4}D}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BO_{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle \overrightarrow{CD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{O_{4}D}$ - $\displaystyle \overrightarrow{O_{4}C}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BO_{2}}$ - $\displaystyle \overrightarrow{AO_{2}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ ,

т.е. ABCD — параллелограмм.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5050