ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55595
Темы:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
Название задачи: Прямая Эйлера.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.


Подсказка

Расстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.


Решение

Первый способ.

Пусть A1 — середина стороны BC треугольника ABC, G — точка пересечения прямых AA1 и OH. Воспользуемся известным фактом: AH = 2OA1.

Из подобия треугольников A1GO и AGH следует, что

$\displaystyle {\frac{AG}{GA_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{HG}{GO}}$ = $\displaystyle {\frac{AH}{OA_{1}}}$ = 2.

Следовательно, G — точка пересечения медиан треугольника ABC, т.е. G совпадает с M и MH = 2MO.

Второй способ.

Пусть AA1, BB1 и CC1 — медианы, а AA2, BB2 и CC2 — высоты треугольника ABC. Рассмотрим гомотетию с центром в точке M и коэффициентом - $ {\frac{1}{2}}$.

При этой гомотетии треугольник ABC переходит в треугольник A1B1C1, а прямые AA2, BB2 и CC2 — в серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC (высоты треугольника A1B1C1). Поэтому точка H пересечения высот треугольника ABC переходит в точку пересечения серединных перпендикуляров этого треугольника, т.е. в центр O его описанной окружности. Следовательно, точки H и O лежат на прямой, проходящей через центр гомотетии (точку M), и MH = 2MO.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5044
книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 8
Название Алгебра + геометрия
Тема Неопределено
параграф
Номер 2
Название Комплексные числа и геометрия
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 08.035
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 11
Название Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Тема Прямая Эйлера и окружность девяти точек
задача
Номер 05.105

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .