ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55526
Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие — на хорде. Чему равна разность длин сторон квадратов?


Подсказка

Найдите соотношения между сторонами квадратов, радиусом окружности и данной величиной h.


Решение

Пусть O — центр окружности, PQ — указанная хорда, H — её середина (OH = h), ABCD и KLMN — указанные квадраты (рис.1), E и F — середины отрезков MN и BC. Обозначим стороны этих квадратов через a и b соответственно, а радиус окружности — через r.

Из прямоугольниых треугольников OEN и OFB находим, что

b + h = HE + OH = EO = $\displaystyle \sqrt{ON^{2} - NE^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{r^{2} - \frac{b^{2}}{4}}$,

a - h = HF - OH = FO = $\displaystyle \sqrt{OB^{2} - FB^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{r^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$.

Поэтому

(b + h)2 = r2 - $\displaystyle {\frac{b^{2}}{4}}$, (a - h)2 = r2 - $\displaystyle {\frac{a^{2}}{4}}$.

Вычитая почленно эти равенства, получим, что

(b + h)2 - (a - h)2 = $\displaystyle {\frac{a^{2} - b^{2}}{4}}$, 2h - (a - b) = $\displaystyle {\frac{a - b}{4}}$.

Отсюда находим, что a - b = $ {\frac{8}{5}}$h.


Ответ

$ {\frac{8}{5}}$h.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4849

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .