ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55522
УсловиеОкружность, построенная на высоте AD прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает катет AB в точке K, а катет AC — в точке M. Отрезок KM пересекает высоту AD в точке L. Известно, что отрезки AK, AL и AM составляют геометрическую прогрессию (т.е. = ). Найдите острые углы треугольника ABC.
ПодсказкаДокажите, что четырёхугольник AKDM — прямоугольник.
РешениеПоскольку AD и KM — диаметры указанной окружности, то четырёхугольник AKDM — прямоугольник. Пусть P — проекция вершины A на диаметр KM. Тогда
AL2 = AK . AM = KM . AP = AD . AP = 2AL . AP.
Отсюда находим, что AL = 2AP. Следовательно, в прямоугольном
треугольнике APL угол APL равен
30o, а т.к.
ALP = 2LAM, то
LAM = 15o. Значит,
ACB = 90o - DAC = 90o - LAM = 75o, ABC = 90o - 75o = 15o.
Ответ15o, 75o.
Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|